La troisième saison de la série de vidéos pour les 9-12 ans « Les maths avec Nina et Ruben » est consacrée à la multiplication et la division. Tout comme dans la saison 1 sur l’addition et la soustraction, les réglettes Cuisenaire y sont les actrices principales. Elles permettent notamment d’illustrer la multiplication avec un rectangle fait d’un nombre donné de réglettes (= un des facteurs) représentant le même nombre (= l’autre facteur).

Ainsi, 3 x 5 est représenté par 3 réglettes de longueur 5 cm arrangées en un rectangle de dimensions 3 et 5. Le résultat de la multiplication est donc l’aire de ce rectangle. C’est le modèle (de l’aire) du rectangle.

Et l’on découvre qu’on a le même rectangle avec 5 réglettes de 3 cm de long, c’est-à-dire que 3 x 5 = 5 x 3. La commutativité n’est plus un mot abstrait et une règle à retenir mais une chose palpable. Et en utilisant 15 cubes qu’on arrange en un rectangle, on peut passer d’une façon de les grouper à l’autre (on passe de 5 de rangées de 3 à 3 rangées de 5). Les réglettes vont nous permettre d’illustrer de même la distributivité et l’associativité.

Les propriétés de la multiplication sont alors mises à profit pour expliquer la multiplication par 10. Dans notre système décimal, un nombre est un ensemble de groupes de taille 1, 10, 100, etc.

Par exemple : 257 = 2 groupes de 100 + 5 groupes de 10 + 7 groupes de 1.

Multiplier la somme de ces groupes par 10 peut être vu comme multiplier chacun des groupes par 10 (voir S3E2 sur la distributivité) et chaque multiplication peut être interprétée comme une multiplication par 10 de la taille des groupes (voir S3E3 sur l’associativité) alors que le nombre de groupes reste le même :

257 x 10 = 2 groupes de 1000 + 5 groupes de 100 + 7 groupes de 10 = 2570.

Enfin, le modèle du rectangle peut être aussi utilisé pour illustrer la multiplication de nombres à deux chiffres et plus et ainsi mieux comprendre ce que l’on fait quand on pose la multiplication.

La division est ensuite introduite en utilisant de même le modèle du rectangle : le dividende est l’aire d’un rectangle, le diviseur est la longueur d’un des côtés tandis que le résultat de la division est la longueur de l’autre côté. Ce modèle va nous servir pour illustrer des divisions équivalentes et ce qui se passe quand on effectue plusieurs divisions ou bien une division suivie d’une multiplication ou vice-versa. Il nous permet aussi d’introduire les notions de quotient et reste, ainsi que d’expliquer d’où viennent les critères de divisibilité que très souvent on se contente d’appliquer.

Tout au long des épisodes, des situations réelles de multiplications et divisions sont données afin de montrer que les maths sont aussi là pour modéliser le réel et nous permettre de trouver des réponses à certaines questions.

Il est essentiel que, pour l’enfant, la multiplication ne se résume pas aux tables de multiplication et la division ne soit pas que l’opération inverse de la multiplication. Les réglettes Cuisenaire permettent de rendre ces opérations et leurs propriétés beaucoup plus concrètes et donc plus faciles à comprendre. En les utilisant pour explorer leurs propriétés (voir aussi le jeu proposé dans S3E4) et pour modéliser une multitude de situations réelles différentes (dont certaines peuvent avoir été proposées par les élèves), l’enfant pourra développer les compétences nécessaires pour aborder les fractions et plus tard l’algèbre, deux grands domaines dans lesquels les difficultés de nombreux collégiens s’expliquent en partie par un manque de compréhension profonde de la multiplication et  de la division.