Saison 4 des maths avec Nina et Ruben

Travaillant à Londres et parlant couramment plusieurs langues, je travaille avec des élèves d’établissements des systèmes scolaires anglais, français et allemand. J’ai ainsi constaté que dans ces trois systèmes, le niveau en calcul mental des collégiens est désastreux et que les fractions ne sont souvent pas comprises du tout. Et ce, même chez les bons élèves. J’ai par exemple eu une bonne élève de (à l’époque) première S incapable de calculer de tête 3/8 de 8000 – et qui m’a presque traitée de folle pour lui avoir demandé de faire ce calcul ! Je n’ai pas trouvé d’études pour appuyer mon hypothèse, mais l’usage précoce de la calculatrice est selon moi responsable de ces difficultés. Il serait intéressant de suivre les compétences des élèves en calcul mental (incluant des fractions simples) entre la fin du CM2 et la fin de la 6^e puis la fin de la 5^e, etc.

Bien souvent, les élèves qui présentent de sérieuses difficultés avec les fractions n’ont pas assez réfléchi sur le sens et les propriétés de la multiplication et de la division. La division est évidemment centrale dans la fraction puisque son dénominateur nous indique en combien de parts égales le tout ou l’ensemble a été divisé. C’est la première chose à comprendre pour comprendre une fraction.

Dans Les maths avec Nina et Ruben, le concept de fraction est introduit (S4:E1) en expliquant d’abord à quoi sert une fraction : à décrire la taille d’une partie d’un tout. Cela est illustré avec les fractions unitaires d’un tout (d’abord avec une pomme puis avec un hexagone en bois), c’est-à-dire lorsque la fraction est obtenue en divisant le tout par un entier. On passe ensuite (S4:E2) au concept de fractions non-unitaires, où une partie d’un tout peut être décrite par plusieurs fractions unitaires. Une fraction peut aussi décrire une partie d’un ensemble d’objets, par exemple on dira que les 2/9 d’un ensemble de perles sont jaunes si on a 2 perles sur 9 perles qui sont jaunes. Les fractions équivalentes (S4:E3 et S4:E4) sont ensuite expliquées en utilisant un tout : la taille d’une même partie du tout peut être décrite de façons différentes si on l’a divisé en plus ou moins de part ; et qu’un ensemble : 3 perles sur 4 sont jaunes et 6 perles sur 8 sont jaunes nous donnent deux ensembles de perles ayant une fraction équivalente de perles jaunes puisqu’avec le deuxième on peut former en tout 4 groupes de 2 perles et 3 de ceux-ci sont constitués de perles jaunes.

L’exemple des perles est utilisé (S4:E5) pour introduire les doubles-droites graduées (qui sont centrales dans cette saison ainsi que dans la saison 7 sur la proportionnalité) : une des droites est utilisée pour numéroter les groupes, tandis que l’autre indique le nombre de perles. Une double-droite graduée, prise entre 0 et un point donné, forme un rectangle qui représente notre tout. Si on considère une fraction de ce rectangle, on peut « lire » cette fraction sur chacune des droites. La multiplication par 2 du numérateur et du dénominateur de ¾ pour passer à la fraction équivalente 6/8 prend alors tout son sens. Ce sens est également réel quand il s’agit de couper un gâteau en plus de parts ou en groupant ces parts et il est essentiel de le montrer aux élèves. Toutefois, aborder tôt les fractions d’ensembles d’objets permet à l’élève d’associer une valeur à chaque part (on peut parler de « boite » pour rendre cela très concret). Cela va lui faciliter la compréhension des fractions d’un nombre – le passage de la fraction d’un gâteau, d’une pizza ou d’un camembert (qui n’est associé.e à aucune valeur) à la fraction d’un nombre pouvant poser problème.

La double-droite graduée nous permet de visualiser que trouver la fraction d’un nombre (S4:E6) consiste à faire deux opérations sur ce nombre : le diviser par le dénominateur de la fraction puis le multiplier par le numérateur de la fraction. Les pourcentages (S4:E7) sont alors introduits comme des fractions dont le dénominateur est 100, ce qui nous permet de trouver des fractions équivalentes (par ex 75%=3/4) tandis que trouver le pourcentage d’un nombre (S4:E8) est une simple application de ce qui a été vu dans S4:E6.